月下美人さんとモバ友になろう！
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- 2009/11/11 17:25
- １＋１＝２の証明
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- ～ペアノの公理定～
peanoにより公理定化された自然数の定義のことで次の５つの効理からなる
自然数と０の集合をＭとするとき０はＭの元である
ｎかＭの任意の元であればその後継successorと呼ばれるsuc(n)がただ１つＭに存在する
後継が０となるような元はＭには存在しない
Ｍの任意のもとＭ，nに対してｍ≠ｎならばsuc(m)≠suc(n)が成り立つ
Ｍの部分集合 Ａ が０を含み nを含めばsuc(n)を含む時 ＡはＭと一致する(数学的帰納法の原理)
公理において定数記号は０しか明記されてないので定数記号を次のように定義する
1＝suc(0)
2＝suc(suc(0))
3＝suc(suc(suc(0)))
ペアノの公理定より 加法を次のように定義することができる
Ⅰ,Ｍの任意の元ａに対して
ａ＋０＝０＋Ａすなわち０を加法に関する単位 元とする
Ⅱ,Ｍの任意の元a,bに対して
suc(a)＋b＝a＋suc(b)
＝suc(a＋b)
Ⅰ,より
suc(a)＝suc(a＋b)
またⅡ,より
suc(a＋0)＝a＋suc(0) ＝a＋1
よって suc(1)＝1＋1…Ⅲ
Ⅲ にa＝1を代入すると
suc(1)＝1＋1…Ⅳ
ここで １＝suc(0)なので suc(1)＝suc(suc(0)) ＝2…Ⅴ
Ⅳ,Ⅴより
１＋１＝２
- ～ペアノの公理定～
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